th4ck，鸡爪定理是什么

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鸡爪定理结构简单，但是运用之妙，存乎一心，想用好却殊为不易，下面再看几个问题：

1、已知：如图，圆内接四边形ABCD中，AB>BC,AD>DC,I、J为△ABC、△ADC内心，以AC为直径的圆交线段IB于X，交JD延长线于Y，

证明：若B,I,J,D共圆，则X、Y关于AC对称。（2016年中国国家队选拔考试第三次第3题）

思路分析：

本题是第三题，理论上应该是当天题目中最难的一个，

看起来确实比较难，图形新颖，

条件看着也有点复杂，

特别是证明结果，看着有点无从下手。

只能先分析图形的基本性质并逐步简化图形。

先由内心得到DJ过ABC弧中点H，BI过ADC弧中点K，

则HK为AC中垂线，设DH交BK于T，则

B,I,J,D共圆<=>∠TIJ=∠TDB=∠TKH<=>IJ//KH

感觉平行比共圆好点，到这都很显然。

不过这样至少能把准确的图形作出来了：固定AC，圆上任选B点，

设I为△ABC内心，过I作AC垂线交以H为圆心 HC为半径的圆于J（鸡爪定理），

HJ交圆于D，即满足BIJD共圆。 图形还是太复杂……需要继续分析简化图形，

IJ//KH<=>TK:TH=KI:JH=CK:CH,这样就和I,J,B,D无关了，

问题重新描述为：

如上图，AHCK共圆且HK为直径，

动点T满足TK:TH=CK:CH,且HT,KT交以AC为直径的圆于Y,X，

求证：X、Y关于AC对称。

这时应该由结果分析试试了，

X、Y关于AC对称<=>∠HLX=∠KLY,

最好∠HYL=∠XKL且∠YHK=∠KXL，似乎是对的，这样只需证明HLTX,KLTY共圆，由对称性，只需证明一个共圆即可，这样能继续消掉X。

在最后的上图中，只需证明∠HYL=∠XKH即可。

即证△HYL∼△HKT,

此两三角形有公共角，我们还有TH:TK=CH:CK=LH:LC=LH:LY,

这和前面用过几次的SSA类似，因为两个角为钝角，这用正弦定理很容易说明，

这样本题就彻底解决了！

下面将最后的证明写一下即可

∠HLY>∠HLC=90°, ∠HKT<∠HKC<90°故∠HYL,∠HKT均为锐角,

sin∠HKT: sin∠THK =TH:TK=CH:CK=LH:LC=LH:LY= sin∠HYL: sin∠THK,

故sin∠HKT= sin∠HYL，故∠HYL=∠HKT。这样按上述思路补全证明即可，不再赘述。

2、已知：如图，△ABC外接圆为圆O，D、E在∠BAC角平分线上，且∠ABE=∠CBD,过D的OD的垂线交BC于K，过A的DK的平行线交圆O于F。

求证：KE=KF

用鸡爪定理，延长AE交圆O于J，JF交BC于L合情合理。但是感觉图形还是有些凌乱……好吧，我觉得最好还是退而求其次，先考虑用鸡爪定理重新解决其特例------第二篇第7题，即D、E重合于内心I时的情形。

此时目标比较明确：证明IKFL四点共圆。

继续分析：平行及垂直的用处只能是四个角相等，即∠JIK=∠JAF=∠AFI=∠KIF,

由鸡爪定理又能得到∠JLI=∠JIF及∠IAF=∠JLN，这就解决了！

改进后的证明如下：

由垂直及平行得

∠JIK=∠JAF=∠AFI=∠KIF,

由鸡爪定理的JI^2=JF*JL=JN*JA

则ANFL共圆，

且∠JLI=∠JIF=2∠IAF=2∠JLN,

则∠KLF=∠KLI=∠KIF,

则IKFL共圆，

则KI=KF.

这个改进后的证明我比较满意，毕竟辅助线容易想到，而且只是用了相似和共圆，过程也比较简单，没有用到蝴蝶定理等相对“高深”的二级结论。

下面当然是趁热打铁，再看D、E不重合的情形，几乎也是如法炮制，如出一辙。

证明：

由垂直及平行得

∠JDK=∠JAF=∠AFD=∠KDF,

由第七篇第1题知

JD*JE=JF*JL=JN*JA

则ANFL、DELF共圆，

则∠JLE=∠JDF=2∠JAF=2∠JLN,

则∠KLF=∠KLE=∠KDF,

则DKFL共圆，则DKFLE共圆，

则KE=KF.

3、已知：如图，锐角三角形ABC中，AB>AC，AD为角平分线，M为BC中点，O、O'为△ABC，△AMD外心。

求证：OO'//AD(波兰数学奥林匹克决赛，2017-1018)

分析：补出两圆，作出全两弧中点，结论自然而然。

证明：

如图，设G、H为BAC弧及BC弧中点，

显然GOMH,ADH共线，

OM⊥BC,GA⊥AD,

故AGMD四点共圆，其圆心为O'，

从而OO'⊥AG,

故OO'//AD

注：本题相对简单，不过可以考虑联系第六篇第4题。